두 명의 엄마와 두 명의 딸이 함께 낚시를 갔다. 시간이 흘러서 큰 물고기 한 마리, 작은 물고기 한 마리 , 그리고 뚱뚱한 물고기 한 마리, 모두 3마리를 낚았다. 집으로 갈 때는 각자 물고기를 한 마리씩 가져 가게 되었다. 어떻게 된 것일까?
할머니, 엄마, 딸이 함께 고기를 잡으로 갔다. 엄마의 엄마는 할머니 이므로 두 명의 엄마가 되고, 할머니의 딸은 엄마 이므로 두명의 딸이 된다. 따라서 각자 물고기를 한 마리씩 가져 가게 되었다.
[문제2]
어느반에서 3명의 학급임원을 선출하게 되었다. 후보자는 7명이고 학급의 전체 인원은 45명이다. 무효표는 없는 것으로 하고 개표 도중에 후보자중 1명이 당선 확실이라고 말할 수 있으려면 그 사람에게 몇표가 나왔을 때인가?
득표수가 12표가 되었을 때 정원수 3에 1을 더해서 그 4로 부표자수 45를 나누면 정수의 몫 11이 된다. 그 11에 1을 더한 12가 그 사람의 당선 확실한 득표수이다. 만일 어떤 사람이 12표를 얻었는데도 불구하고 당선이 확실하지 않다면 그 사람 이외에 12이상의 득표를 한 사람이 적어도 3명 있지 않으면 안된다. 그 경우는 전부의 득표수가 아래와 같이 되어 12+12× 3= 48 이사람의 득표 다른 세사람의 득표 투표자가 45명이라는 조건에 위배된다. 따라서 적어도 제 3위의 당선은 확실하게 되는 것이다. 11표를 얻어서는 그 밖에 12표, 11표, 11표를 득표하는 경우가 있을 수 있으므로 그 단계에서 당선 확실이라고 말할 수 없다. 또한 후보자가 3명 이하의 경우는 투표를 기다리지 않고 당선 확실한 것은 물론이다. 후보자가 4명 이상의 경우는 그 인원수에 관계없이 12표를 얻으면 당선 확실 이라고 말할 수 있다. 문제에 '후보자 7명에 대해서'라고 한 것은 후보자가 4명 이상으로 되어 있음을 나타내는 데 도움을 주기 위해서 이다. 후보자의 수 7에 연연할 필요는 없다. 일반적으로 정원수 m명이고 투표자 n명의 경우 후보자가 m명보다 많은 경우는 어떤 사람이 당선 확실이라고 할 수 있는 득표수는 다음의 공식과 같다. [ n / (m+1) ]
[문제3]
세 사람이 술집에 가서 30만 원어치 술을 마셨습니다. 한 사람이 10만 원씩 내기로 하고 웨이터에게 돈을 주었는데, 주인이 단골 손님이라고 깍아 준다며 웨이터에게 5만 원을 돌려주라고 했습니다. 그런데 이 웨이터가 생각해 보니, 어차피 5만 원을 셋으로 나눌 수도 없는데 싶어, 2만 원을 슬쩍하고 3만 원만 돌려줬습니다.
자, 그럼 세 사람은 각각 1만 원씩 되돌려 받았으니까 9만 원씩 술값을 낸 셈입니다.
따라서, 세 사람은 27만 원을 내었고 여기에 웨이터가 가로챈 2만 원을 더하면 29만 원.
아니, 만원은 어디 갔죠?
27만원에 2만 원을 더한 것이 잘못된 부분입니다. 실제로 돈을 갖고 있는 사람을 따져 보면 된다. 주인이 25만원, 웨이터 2만원, 세 사람이 만원씩 모두 30만원이다. 즉, 원래 세 사람이 갖고 있던 돈인 30만원에서 3만원을 돌려받았고 27만원을 주인과 웨이터가 나눠 가진 것이다. 27만원에서 빼야 할 2만원을 더했기 때문에 이런 이상한 결과가 생겼다. 상황을 극단적으로 바꿔 보면 이해가 쉽다. 세사람이 30만원을 줬더니, 주인이 파격 세일로 5만원을 받고 25만원을 돌려주라고 했다. 웨이터는 22만원을 챙기고 3만원만을 돌려주었다. 그럼 세 사람이 낸 돈은 27만원, 웨이터가 챙긴 돈은 22만원. 이 둘을 더할 사람은 아무도 없지 않겠는가? 당연히 '웨이터가 챙긴 22만원은 세 사람이 낸 27만 원 가운데 일부'라고 생각할 것이다. 원래 문제의 경우 27+2와 30이 겨우 1 차이기 때문에 착각을 불러일으키는 것이다.
[문제4]
세 사람이 의자에 한 줄로 앉아 앞을 바라보고 있습니다. 이들에게 검은 모자 둘과 흰 모자 셋을 보여 주고, 눈을 감고 있는 동안 세 사람에게 모자를 씌웁니다. 맨 뒤에 앉은 사람은 앞에 앉은 두 사람의 모자를 볼 수 있고, 가운데 앉은 사람은 맨 앞에 앉은 사람의 모자만 볼 수 있으며, 맨 앞에 앉은 사람은 어떤 모자도 볼 수가 없습니다.
맨 뒤에 앉은 사람에게 자기 모자의 색을 알겠느냐고 물었더니 모르겠다고 했습니다. 그런데 맨 앞에 앉은 사람에게 물었더니, 자기 모자가 무슨 색인지 알겠다고 했습니다.
맨 앞에 사람의 모자는 무슨 색깔일까요?
세 사람을 앞에서 부터 A, B, C라고 하자. 만약 A와 B가 모두 검은 모자를 쓰고 있다면, 검은 모자가 둘 뿐이므로 C는 자기 모자가 희다는 걸 알 수 있습니다. 따라서, A와B의 모자는 둘 다 희든가 하나는 검고 하나는 흰 모자라야 합니다. 만약A가 검은 모자라면, B가 흰 모자를 쓰고 있다는 걸 알 수 있으므로 결국 A는 흰 모자를 쓰고 있다는 걸 알 수 있습니다. 따라서 정답은 흰 모자 입니다.
[문제5]
하나의 고무줄이 있습니다. 이 고무줄은 그 단면이 균일하고(모든 부분이 일정하게 늘어난다는 의미) 무한정 늘어날 수 있다고 가정합니다. 이 고무줄이 한쪽 끝은 벽에, 그리고 다른 한쪽의 끝은 자동차의 꽁무니에 고정이 되어 있다고 합시다. 우리의 달팽이는 벽에 고정된 부분에서 출발을 하고 차는 어느정도 앞에서(고무줄이 적당히 팽팽해지는 지점에서) 같은 방향으로 출발 했습니다.(벽에서 멀어지는 방향)
자동차의 속력은 초속 1m이고 깜찍이의 속력은 평지에서 초속 1cm 입니다. 과연 달팽이는 자동차를 따라 잡을 수 있을까요? (물론 달팽이는 줄을 따라 이동합니다.)
따라 잡을 수 있습니다. 여러가지 설명이 가능하지만 다음을 생각하는 것이 가장 직관적으로 이해 되리라 생각합니다. 우선 깜찍이와 자동차의 속력의 비는 100입니다.( 초속1m/초속1cm ) 이제 고무줄위에 같은 간격으로 101개(왜 101개인지를 염두에 두십시오.)의 선을 긋습니다. 여기서 잠깐 고무줄에서 일어나는 일을 살펴보면, 자동차가 달리는 동안 고무줄의 각각의 점들의 속력은 원점을 지나는 직선형태로 증가합니다. 즉 벽에 붙은 지점은 0이고 자동차의 꽁무니는 100cm/sec 그리고 한가운데는 50cm/sec이 됩니다. 이는 항상 일정하게 유지 됩니다. 만약 깜찍이가 한 개의 선 위에 있다고 한다면 다음 선의 상대속력(깜찍이가 있는 현위치로 부터)은 깜찍이의 평지속력인 1cm/sec보다 약간 작습니다.(이것이 100개가 아닌 101개의 선을 그린 이유입니다.) 따라서 깜찍이는 다음의 지점에 도착할 수 있음이 자명합니다. 마찬가지로 깜찍이가 어느지점에 있든지 다음 선의 상대속력은 1cm/sec보다 작게되며, 결국에는 깜찍이가 마지막 선근방에 있게 되었을 때 부터는 깜찍이의 절대속력(멀리서 지켜보는 거북이 눈에 보이는 속력)은 오히려 차의 속력보다 빠르게 됩니다. 놀라운 일이죠. ^^; 한마디로 깜찍이는 한발한발 움직일 때마다 점점짜른 탈것위에 놓이게 되므로 자동차를 따라 잡을 수 있게 됩니다.
